受験に向けての勉強をしていて，「自分は図形と方程式が弱いなぁ」と感じた受験生向けの問題セットです。図形と方程式への理解の度合いを、一段階、強化させます。

問5. 放物線 y=x² 上に，直線 y=ax+1 に関して対称な位置にある異なる2点P，Qが存在するような a の値の範囲を求めよ． (一橋大 2001年度 第2問)

＜目次＞
00:00 問題把握
00:19 立式する
01:34 方針を考える
01:52 視覚化する
02:27 aの範囲を求める
02:44 答え

シリーズ「表現の自由は、解法の自由。」
再生リストはこちら https://youtube.com/playlist?list=PL_...
　第０回 【数学】難関大を目指す受験生へ「値域と存在条件」
　第１回【別解研究】共有点をもつ《05 京大》
　第２回 実数解が取りうる値の範囲 《信州大》
　第３回【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》
　第４回【別解研究】2変数分数式の最大最小《早大》
👉第５回 線対称な2点の存在《01 一橋大》
　第６回【2つの解法】(x+y, xy)変換の像 《05 東工大》
　第７回【別解研究】直線の通過領域 《15 島根大 改》
　第８回 3次関数のグラフの通過領域 《97 一橋大》
　第９回【2つの解法】三角形の存在 《21 一橋大》
　第１０回【2つの解法】2変数の通過領域 《21 東大》

問題PDF：https://www.icloud.com/iclouddrive/081teEFUMGg5S8QpL4U0KKXRA
去年授業で配った状態のまんまです (＞o＜)

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MATH

【3分解説】線対称な2点の存在《01 一橋大》#一橋大 #存在条件

問3．実数 a に対し，不等式 
　y ≦ 2ax−a² +2a+2
の表す座標平面上の領域を D(a) とおく．
(1) −1≦a≦2を満たすすべてのaに対しD(a)の点となるような点 (p, q) の範囲を図示せよ．
(2) −1≦a≦2を満たすいずれかのaに対しD(a)の点となるような点 (p, q) の範囲を図示せよ． (11 東北大)

＜目次＞
00:00 Openig
00:21 解１(1)
01:53 解１(2)
04:01 解１まとめ
04:18 解２(1)
05:56 解２(2)
06:40 解２まとめ

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　第１回【別解研究】共有点をもつ《05 京大》
　第２回 実数解が取りうる値の範囲 《信州大》
👉第３回【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》
　第４回【別解研究】2変数分数式の最大最小《早大》
　第５回【2つの解法】線対称な2点の存在《01 一橋大》
　第６回【2つの解法】(x+y, xy)変換の像 《05 東工大》
　第７回【別解研究】直線の通過領域 《15 島根大 改》
　第８回 3次関数のグラフの通過領域 《97 一橋大》
　第９回【2つの解法】三角形の存在 《21 一橋大》
　第１０回【2つの解法】2変数の通過領域 《21 東大》

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【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》#2次関数 #領域 #難関大

問4．実数x，yが不等式x²+y²−1≦0を 満たすとき(x+y+2)/(x−y+2)の最大値と最小値を求めよ．(早大)

＜目次＞
00:00 Openig
00:26 解１ 視覚化する
02:09 振り返り
02:28 解２ 計算で押し切る
05:25 振り返り
05:41 解３ 1変数に置き換える
07:40 振り返り
08:08 解４ 別の2変数に置き換える
10:12 振り返り
10:32 Ending

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　第１回【別解研究】共有点をもつ《05 京大》
　第２回 実数解が取りうる値の範囲 《信州大》
　第３回【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》
👉第４回【別解研究】2変数分数式の最大最小《早大》
　第５回【2つの解法】線対称な2点の存在《01 一橋大》
　第６回【2つの解法】(x+y, xy)変換の像 《05 東工大》
　第７回【別解研究】直線の通過領域 《15 島根大 改》
　第８回 3次関数のグラフの通過領域 《97 一橋大》
　第９回【2つの解法】三角形の存在 《21 一橋大》
　第１０回【2つの解法】2変数の通過領域 《21 東大》

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別解求む！ 2変数分数式の最大最小《早大》

問 6. 実数 x，y が x² + y² ≦ 1 を満たしながら変化するとする.
(1) s = x + y，t = xy とするとき，点 (s, t) の動く範囲を st 平面上に図示せよ.
(2) 負でない定数 m ≧ 0 をとるとき，xy + m(x + y) の最大値，最小値を m を用いて表せ. (東工大 2005年 第4問)

＜目次＞
00:00 Opening
00:22 (1) 問題を理解する
00:57 (1) 解1 存在条件
02:06 ふりかえり
02:27 (1) 解2 予選決勝法×ファクシミリ論法
05:14 ふりかえり
05:32 (2)問題を理解する
06:15 (2) 解1 線形計画法
08:09 ふりかえり
08:38 (2) 解2 予選決勝法
10:39 ふりかえり
11:22 問題のストーリー 
11:46 Ending

#対称式 #東京工業大 #逆像法 #変換 #2変数関数  #基本対称式 #和と積

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　第２回 実数解が取りうる値の範囲 《信州大》
　第３回【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》
　第４回【別解研究】2変数分数式の最大最小《早大》
　第５回 線対称な2点の存在《01 一橋大》
👉第６回【2つの解法】(x+y, xy)変換の像 《05 東工大》
　第７回【別解研究】直線の通過領域 《15 島根大 改》
　第８回 3次関数のグラフの通過領域 《97 一橋大》
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　第１０回【2つの解法】2変数の通過領域 《21 東大》

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【解法比較】x+y, xyを含む変換/関数 #東工大 #線形計画法 #予選決勝法 #ファクシミリ論法

問7． を 0＜t＜1 をみたす実数とする．xy平面上の3点A(-1,1)，B(0,-1)，C(1,1)に対し，線分AB，BCをそれぞれ t:1-t に内分する点をP，Qとし，点Pと点Qを通る直線を l とする．t が条件 0＜t＜1 をみたしながら変化するとき，直線 l の通過領域を図示せよ．

＜目次＞
00:00 Opening
01:20 解1 ファクシミリ論法
03:58 解1のふりかえり
04:44 別のアプローチ
05:10 解2 存在条件を使う
06:42 通過領域，よくある間違え
07:27 Ending

#包絡線 #解の配置 #島根大学 #2015

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　第０回 【数学】難関大を目指す受験生へ「値域と存在条件」
　第１回【別解研究】共有点をもつ《05 京大》
　第２回 実数解が取りうる値の範囲 《信州大》
　第３回【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》
　第４回【別解研究】2変数分数式の最大最小《早大》
　第５回 線対称な2点の存在《01 一橋大》
　第６回【2つの解法】(x+y, xy)変換の像 《05 東工大》
👉第７回【別解研究】直線の通過領域 《15 島根大 改》
　第８回 3次関数のグラフの通過領域 《97 一橋大》
　第９回【2つの解法】三角形の存在 《21 一橋大》
　第１０回【2つの解法】2変数の通過領域 《21 東大》

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直線の通過領域〜柔軟な解法選択を〜  #島根大 #通過領域 #ファクシミリ論法 #存在条件

問9.次の問に答えよ.
(1) a，bを実数とし，2次方程式 x²−ax+b=0 が実数解 α，β をもつとする．ただし，重解の場合は α=β とする.3辺の長さが 1，α，β である三角形が存在する(a,b)の範囲を求め図示せよ．
(2) 3辺の長さが 1，α，β である三角形が存在するとき，
　(αβ+1)/(α+β)²
の値の範囲を求めよ．(一橋大2021年第3問)

＜目次＞
00:00 Opening
00:19 (1) 問題理解
00:58 三角形の存在条件 確認
02:04 (1) 計算実行
02:56 (2) 問題理解
03:33 本解 線形計画法
05:00 本解 ふりかえり
05:11 別解1 1文字消去
06:39 別解2 分数=傾き
08:30 別解2 の捉え方
08:47 ここまでの解法の整理
09:05 別解3 予選決勝法
10:52 別解3の注意点2つ
11:50 Ending

#分数=傾き #一橋大学 #三角形の存在 #2021年度 #第3問

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　第２回 実数解が取りうる値の範囲 《信州大》
　第３回【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》
　第４回【別解研究】2変数分数式の最大最小《早大》
　第５回 線対称な2点の存在《01 一橋大》
　第６回【2つの解法】(x+y, xy)変換の像 《05 東工大》
　第７回【別解研究】直線の通過領域 《15 島根大 改》
　第８回 3次関数のグラフの通過領域 《97 一橋大》
👉第９回【別解研究】三角形の存在 《21 一橋大》
　第１０回【2つの解法】2変数の通過領域 《21 東大》

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【2021一橋大】2変数分数式の値域〜予選決勝法は通用するのか？〜 #線形計画法 #2変数関数 #予選決勝法

問1． xy平面上の原点と点(1, 2)を結ぶ線分(両端を含む)をLとする．曲線y=x²+ax+bがLと共有点を持つような実数の組 (a, b) の集合を ab 平面上に図示せよ．(05 京大 文理共通)

＜目次＞
00:00 Openig
00:30 解１ 解の配置
03:47 解２ 線形計画法
09:07 解３ ファクシミリ論法
12:00 解４ 包絡線
15:15 Ending

シリーズ「表現の自由は、解法の自由。」
　第０回 【数学】難関大を目指す受験生へ「値域と存在条件」
　　https://youtu.be/V3Llzloes1Y
👉第１回【別解研究】共有点をもつ《05 京大》
　第２回 実数解が取りうる値の範囲 《信州大》
　第３回【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》
　第４回【別解研究】2変数分数式の最大最小《早大》
　第５回【2つの解法】線対称な2点の存在《01 一橋大》
　第６回【2つの解法】(x+y, xy)変換の像 《05 東工大》
　第７回【別解研究】直線の通過領域 《15 島根大 改》
　第８回 3次関数のグラフの通過領域 《97 一橋大》
　第９回【2つの解法】三角形の存在 《21 一橋大》
　第１０回【2つの解法】2変数の通過領域 《21 東大》

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【解法交流しませんか？】共有点をもつ《05 京大》#2次関数 #軌跡 #領域 #難関大

次のような形の問題を見たことがあると思います．
「条件式〇〇を満たす△△が存在するような□□ (全体) を求めよ.」
「△△が変化するとき，条件式〇〇を満たす□□が取り得る値の範囲 (領域) を求めよ．」
実は，これらは本質的に同じ問題を，別の表現で記述しているに過ぎません．
つまり，「存在条件の問題」 「実数解の問題」「値域/最大最小/通過領域の問題」は，本質的に同じ問題だと言えます．

＜目次＞
00:00 Openig
00:19 表現が違うだけの同じ問題
01:05 例で理解する
02:02 そもそも，値域とは？
02:41 xの存在を調べてみる
03:40 存在条件による別アプローチ
04:20 存在条件が有効な場面とは？

シリーズ「表現の自由は、解法の自由」
👉第０回 【数学】難関大を目指す受験生へ「値域と存在条件」
　第１回【別解研究】共有点をもつ《05 京大》
　第２回 実数解が取りうる値の範囲 《信州大》
　第３回【2つの解法】不等式の実数解 《11 東北大》
　第４回【別解研究】2変数分数式の最大最小《早大》
　第５回【2つの解法】線対称な2点の存在《01 一橋大》
　第６回【2つの解法】(x+y, xy)変換の像 《05 東工大》
　第７回【別解研究】直線の通過領域 《15 島根大 改》
　第８回 3次関数のグラフの通過領域 《97 一橋大》
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【数学】難関大を目指す受験生へ「値域と存在条件」#2次関数 #軌跡 #領域 #難関大 #浪人生 #受験生

問2． a は実数とする．x についての 2 次方程式 x² +2ax+3a² −2a−4 = 0
が実数解をもつとする.
(1) a の値の範囲を求めよ.
(2) a が (1) で求めた範囲にあるとき，実数解の とりうる値の範囲を求めよ. (信州大)

＜目次＞
00:00 Openig
00:19 (1)
01:06 (2)
03:11 振り返り

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　第５回【2つの解法】線対称な2点の存在《01 一橋大》
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本当に判別式だけでいいのか？〜実数解が取りうる値の範囲〜 《信州大》 #2次関数 #難関大

問 8．実数aが 0＜a＜1 の範囲を動くとき，曲線 y=x³ −3a²x+a² の極大点と極小点の間にある部分（ただし，極大点，極小点は含まない）が通る範囲を図示せよ．(一橋大 1997年後期)

＜目次＞
00:00 Opening
00:08 問題を把握する
01:14 解1 存在条件で立式する
04:01 存在条件のメリット/デメリット
04:36 解2 視覚的アプローチ
07:01 まとめ
07:34 Ending

#存在条件 #解の配置 #逆像法 #ファクシミリ論法 #3次関数

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【存在条件のデメリット】3次関数のグラフの通過領域 #一橋大 #1997 #後期

問10． a，bを実数とする．座標平面上の放物線
　C:y=x²+ax+b
は放物線y=−x²と2つの共有点を持ち，
一方の共有点のx座標は−1＜x＜0を満たし，
他方の共有点のx座標は0＜x＜1を満たす．
(1) 点(a,b)のとりうる範囲を座標平面上に図示せよ．
(2) 放物線Cの通りうる範囲を座標平面上に図示せよ．
　(21 東大 文理共通 第１問)

＜目次＞
00:00 Opening
00:17 問題理解
00:31 (1)
01:29 (2)
02:16 解1 線形計画法
04:02 ふりかえり
04:19 解2 予選決勝法
06:40 ふりかえり
06:50 解3 視覚的に解くことはできるか？
09:31 シリーズまとめ

#存在条件#線形計画法#逆像法
#値域#予選決勝法#順像法
#2変数関数#固定

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　第５回 線対称な2点の存在《01 一橋大》
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【存在条件のデメリット】3次関数のグラフの通過領域 #一橋大 #1997 #後期

シリーズ

図形と方程式強化10題 #9

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【存在条件のデメリット】3次関数のグラフの通過領域 #一橋大 #1997 #後期

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